La relativité Générale permet par l’intermédiaire des équations d’Einstein de relier le taux d’expansion de l’univers à son contenu matériel. Nous allons ici présenter un modèle purement newtonien permettant de rendre compte de l’expansion.

Considérons une boule de fluide homogène de densité et de rayon . Supposons que lors de son évolution la boule puisse changer de rayon tout en restant homogème. Notons donc le rayon de la boule de même centre contenant la masse à l’instant .

On s’intéresse à l’évolution du rayon . On considère donc un élément de fluide situé à ce rayon. Si on néglige l’influence des forces de pression, ce fluide n’est soumis qu’au champ gravitationnel. Son équation du mouvement s’écrit donc

.

Ici, la masse contenue à l’intérieur du rayon est bien sûr constante au cours du temps. Multiplions les deux membres de l’égalité par , on obtient après intégration :

.

Notons l’énergie massique de l’élément de fluide considéré, il vient

.

La densité uniforme de la boule de rayon est donnée par , ce qui donne

.

Ce résultat permet comme on le voit de relier le taux d’expansion de la boule à sa densité. Il ne dépend pas du rayon total . Il serait donc tentant d’extrapoler ce résultat pour une distribution infinie de matière, néanmoins cela n’est pas possible en mécanique classique. Il n’en reste pas moins vrai que pour un rayon total arbitrairement grand, le résultat ci dessus reste valable et s’avère identique (à une redéfinition des termes) au résultat prédit par la relativité générale.

En particulier, si l’on considère une situation où est initialement positif (cas d’une boule en expansion), le devenir de dépend du signe de  : si (ce qui correspond à une énergie postive, donc un état libre), l’expansion se poursuit indéfiniment avec une vitesse qui tend vers , si (cas limite d’énergie nulle), l’expansion se poursuit indéfiniment mais à une vitesse tendant vers 0, et si (qui correspond à une énergie totale négative donc un état lié), l’expasion se poursuivra jusqu’au rayon avant de céder la place à une phase de contraction.

Enfin, notons que dans le cas limite la loi d’évolution de s’écrit simplement

,

et que .

Du fait de l’influence de la gravité, l’expansion a tendance à décélérer (à se ralentir) au cours du temps. Cette propriété vaut encore en Relativité générale, du moins tant que l’on a affaire à de la matière ordinaire.

Voir aussi :

 Comment l’expansion augmente-t-elle les distances sans dilater les objets ?

 L’expansion de l’univers - les équations de Friedmann

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