Cet article se propose de calculer l’amplitude de l’effet Doppler non pas dans le cas classique, mais dans le cas relativiste, c’est à dire dans le cas où la source du signal se déplace vite.

Considérons comme dans le cas classique un observateur immobile situé en qui reçoit des signaux d’un autre observateur se déplaçant en mouvement rectiligne et uniforme de vitesse le long de la droite et qu’il est situé en à l’instant . Supposons que cet observateur mobile émet un signal sinusoïdal de période se déplaçant à la vitesse et que la phase de ce signal est nulle à .

Que signifie désormais « une période plus tard » ? La période est mesurée par l’observateur qui émet le signal. Or cet observateur se déplace par rapport à celui qui le reçoit. La Relativité Restreinte nous enseigne que la période mesurée par l’observateur immobile ne correspond pas à celle mesurée par l’observateur en mouvement. La relation entre ces deux durées est donnée par la formule de la dilatation des durées (voir l’article Un peu de Relativité Restreinte) :

où l’on a introduit le facteur de Lorentz .

Ainsi, « une période plus tard », soit à l’instant , l’observateur mobile est en , le front d’onde qu’il a envoyé à est désormais en . A ce même moment, la phase du signal émis par l’observateur est à nouveau nulle. La distance qui sépare deux fronts d’onde de phase nulle correspond par définition à la longueur d’onde du signal que va mesurer l’observateur immobile. Elle est donc de

Si l’émetteur était au repos, elle serait de

On a donc désormais

Dans le cas d’un signal lumineux, , et l’expression ci-dessus se réécrit

Le rapport des fréquence peut désormais prendre n’importe quelle valeur positive quand varie entre et .

Rappelons qu’en cosmologie cette interprêtation cinématique du redshift est quelque peu trompeuse et qu’il est préférable de l’interpréter comme un effet dû à la dilatation de l’espace plutôt que comme un effet dû à des mouvement d’objets dans l’espace.

Voir aussi :

 Effet Doppler - cas classique

 Un peu de Relativité Restreinte

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