Cet article a pour but de présenter plus quantitativement le paradoxe d’Olbers (voir l’article Pourquoi la nuit est-elle noire ?), et de voir d’une part en quoi la question formulée par Olbers est de Chézeaux est pertinente et d’autre part en quoi la solution proposée par E.A. Poe est d’une certaine façon « fortuitement exacte » .

 Considérons un espace uniformément empli d’étoiles avec une densité . Chaque étoile possède une même luminosité . Nous supposons que ces étoiles brillent indéfiniment, ce qui est bien sûr parfaitement irréaliste. Néanmoins, la source d’énergie des étoiles était inconnue à l’époque où a été formulé le paradoxe d’Olbers, et cette hypothèse, aussi choquante soit-elle de nos jours, était acceptable.

Ce que nous recevons d’une source lumineuse, c’est un flux d’énergie, c’est-à-dire une certaine quantité d’énergie par unité de surface et par unité de temps. Le flux se déduit de la luminosité par la formule

Considérons la coquille d’épaisseur et de rayon centrée sur nous.

Le nombre d’étoiles situées dans cette coquille est donc

Le flux reçu sur Terre de la part de ces étoiles est donc de la forme

Quelle que soit la taille de la couche considérée, le flux reçu est le même !

 Ce résultat ne signifie pas que le flux reçu sur Terre est infini. En effet, comme le remarque déjà de Chéseaux, les étoiles proches peuvent masquer les étoiles lointaines. Le calcul est alors un peu plus compliqué. Supposons que chaque étoile ait un rayon identique et qu’elle se comporte comme un absorbeur parfait, c’est-à-dire qu’elle absorbe toute la lumière qu’elle reçoit sans que cela affecte sa propre luminosité (ce qui est irréaliste). Une étoile située à une distance occupe donc un angle solide de

La fraction d’angle solide occupé par les étoile d’une couche de rayon et d’épaisseur est donc

La probabilité qu’une droite issue du centre de la couche intercepte une étoile est donc

La probabilité qu’une droite issue du centre traverse N couches de rayon pour arriver à la distance sans rencontrer d’étoile est donc

Bref, au delà de quelques , il est extrêmement probable qu’une étoile se trouve sur la ligne de visée, autrement dit, il n’est pas possible de voir plus loin que quelques . Ce résultat est bien connu en physique statistique : quelle que soient la densité et la section efficace des objets considérés, le libre parcours moyen est toujours fini tant que ces dernières ne varient pas au cours du temps.

La luminosité reçue sur Terre de la part de la couche de rayon est donc modulée de la probabilité que la lumière émise soit interceptée par une étoile plus proche. On obtient alors

Ce qui donne, en intégrant sur l’ensemble des couches,

Ce résultat n’est pas très surprenant en soi : nous avons supposé que les étoiles absorbaient la lumière qu’elles recevaient des autres étoiles. Comme nous avons également supposé qu’elles émettaient depuis un temps infini, le seul moyen d’éviter d’avoir une quantité infinie de lumière est de supposer que la lumière émise par les étoiles est exactement compensée par celle qu’elle émettent.

Notons qu’il n’y a en fait pas de nécessité à faire une intégration sur tout l’espace, mais sur quelques  : ainsi le résultat ne dépend pas du fait que l’univers soit réellement infini ou que les étoiles rayonnent pendant un temps infini : il suffit que l’univers soit suffisamment grand et que les étoiles rayonnent suffisamment longtemps (plus longtemps que quelques ).

Le résultat signifie dans que la puissance récupérée par une sphère de rayon est exactement égale à , c’est-à-dire que tout se passe comme si nous étions enveloppés d’une coquille qui émettrait autant qu’une étoile. Par conséquant que le fond du ciel devrait être en toute direction aussi lumineux que la surface du soleil.

Si l’on considère que les étoiles ne sont pas des absorbeurs parfaits mais au contraire qu’elle réfléchissent la lumière qu’elle reçoivent, alors le flux reçu sur Terre est à nouveau infini. Ceci n’est finalement pas surprenant : un univers uniformément rempli d’étoiles brillant depuis une éternité va clairemant avoir une quantité infinie de lumière. L’hypothèse de mettre des étoiles qui « absorbent » la lumière environnante permet comme nous l’avons dit de rendre la luminosité reçue en un point finie.

 Comment un univers en expansion résout-il ce problème ? À première vue, la solution vient essentiellement de la valeur numérique de  : même en prenant la densité d’étoiles au voisinage du soleil (qui est supérieure à la densité d’étoiles dans l’univers car celles-ci ne sont présentes que dans les galaxies), on obtient , soit

soit plus de 12 ordres de grandeur de plus que la taille de l’univers observable. Ainsi, du fait de l’âge fini de l’univers, la taille finie de la partie observable de l’univers étant très inférieure à la limite de visibilité il n’est pas étonnant que la luminosité reçue en un point soit inférieure à la luminosité d’une étoile. En apparence, le paradoxe d’Olbers est donc aisément contourné si l’on considère que notre univers est vieux d’une quinzaine de milliards d’années. Pourtant ce raisonnement est complètement faux : il y a bien une limite de visibilité dans l’univers.

 En effet l’existence d’une limite de visibilité dans l’univers telle qu’Olbers et de Chéseaux l’avaient calculé n’est plus valable dans un univers en expansion. Dans un univers statique, les deux quantités qui interviennent sont la densité d’étoile (ou la distance moyenne entre étoiles) et leur taille physique. Il est clair qu’il n’est pas possible d’obtenir un libre parcours moyen des photons autrement qu’en combinant ces longueurs. Le résultat indique en l’occurence que

à un facteur numérique près sans importance ici. Dans un univers en expansion le rayon des étoiles reste constant au cours du temps (voir l’article Comment l’expansion augmente-t-elle les distances sans dilater les objets ?), mais pas la densité, qui tend vers 0. Il semble clair dans ce cas que le libre parcours moyen des photons, même s’il reste fini, n’a pas de raison particulière de s’exprimer uniquement en terme des longueurs qui apparaissent aujourd’hui. Si on exprime en terme de la densité à un instant passé, alors diminue car la densité augmente. Nous allons en fait montrer que est toujours plus petit que la taille limite de l’univers observable.

Entre les instants et , un photon parcours la distance . Pour qu’il ne soit pas intercepté par une étoile, il faut qu’il n’y ait pas d’étoile dans un cylindre de rayon et de longueur . Ainsi, un photon va être en général intercepté au bout du temps tel que le nombre moyen d’étoile situé dans un cylindre de rayon et de rayon est égal à 1, soit

En notant et le temps aujourd’hui et en supposant que la densité décroît comme , l’univers a aujourd’hui une limite de visibilité si et seulement si

Tant que n’est pas trop gros, cette intégrale converge. Si au contraire est supérieur à 1, l’intégrale diverge. En général, l’expansion se fait selon la loi (cf l’article L’expansion de l’univers - les équations de Friedmann)

ce qui indique que est toujours supérieur à 1 quand est inférieur à un. Ainsi il existe toujours une limite de visibilité dans le passé, indendamment du fait que l’univers ait ou non un âge fini et de la nature exacte des objets qui peuvent intercepter la lumière : le résultat reste tout-à-fait valable si on remplace les étoiles par des électrons. Ainsi donc Olbers avait raison : on ne peut voir aussi loin que « possible », c’est-à-dire, si l’on transpose la conclusion d’Olbers à un univers en expansion, voir l’« instant initial » hypothétique de l’histoire de l’univers. La limite de visibilité est donnée par l’instant tel que

Notons que comme annoncé plus haut, cette quantité est autant déterminé par les grandeurs actuelles (densité et rayon des étoiles) que par la dynamique de l’expansion.

Il existe donc une région de l’univers au delà de laquelle il ne nous est pas possible de voir. Une partie de la lumière émise depuis cette région a voyagé jusqu’à nous sans être interceptée, alors que la lumière émise plus tôt aura interagi avec la matière. Ce rayonnement est donc le plus ancien qui nous parvienne, on l’appelle rayonnement fossile. Il n’a pas été émis à un hypothétique instant initial de l’histoire de l’univers, mais plus tard. Pour calculer son époque d’émission, il faut connaître quels sont les objets qui interceptent le plus efficacement la lumière aux époques les plus anciennes (l’intégrale si dessus a sa contribution majoritaire aux instants les plus précoces). À ce jeu là, ce sont les électrons qui représentent la principale obstruction au parcours des photons, et le calcul indique que l’âge de l’univers au moment où ils ne sont plus en mesure d’entraver la propagation des photons correspond à quelques centaines de milliers d’années après le Big Bang. C’est très tôt dans l’histoire de l’univers, mais il n’est pas possible de voir plus loin. Les instants plus anciens sont cachés par une sorte de « nuage » d’électrons qui était chaud à l’époque mais qui maintenant s’est considérablement refroidi.

 La réponse de E.A. Poe est donc essentiellement fausse : l’âge fini de l’univers évite la présence d’une limite de visibilité, mais uniquement s’il n’y a pas de Big Bang. Or l’univers est en expansion et issu d’une phase très dense et très chaude. Pourquoi donc la nuit est-elle noire ?

 La réponse à cette question est assez subtile et résulte en fait d’un mélange de thermodynamique et de la Relativité Restreinte et de Relativité Générale. L’on peut montrer que divers effets réduisent la luminosité des étoiles lointaines (voir l’article Les distances dans un univers en expansion) : le flux lumineux reçu d’un objet lointain situé à un redshift est atténué par rapport à ce que l’on observerait d’un même objet dans un univers sans expansion d’un facteur . Comme expliqué dans l’article Les distances dans un univers en expansion, cet atténuement vient pour une part d’un effet purement relativiste, la diatation des durées (voir l’article Un peu de Relativité Restreinte, le nombre de photons reçu par unité de temps est plus faible d’un facteur car la source s’éloigne de nous), pour une part d’un effet de Relativité Générale (l’expansion diminue l’angle solide sous lequel on voit l’objet aujourd’hui par rapport à celui que l’on avait au moment de l’émission du rayonnement d’un facteur ), et enfin du décalage vers le rouge dû à l’expansion (l’énergie de chaque photon est atténué d’un facteur ), effet qui résulte de l’expansion, mais que l’on peut en fait voir comme un effet de thermodynamique : le fait que l’énergie d’un photon décroisse avec le temps peut se réécrire, suivant le premier principe (cf l’article L’expansion de l’univers - les équations de Friedmann)

soit

Ainsi donc on n’a pas conservation de l’énergie durant l’expansion, mais conservation de l’entropie

Ce n’est en fait vrai que quand le nombre de particules reste constant, on a en réalité , où est le potentiel chimique de l’espèce , mais en pratique, tous les potentiels chimiques sont très faibles.

La combinaison de ces deux effets fait que la luminosité des objets lointains est considérablement atténuée par rapport à leur luminosité initiale, c’est cela qui explique la noirceur du ciel.

Conclusion

La question formulée par Olbers prend un relief tout particulier si l’on remarque que le gros du rayonnement électromagnétique dans l’univers n’est pas produit par les étoiles, mais vient du rayonnement fossile, et que à son émission, ce rayonnement avait une température d’environ 3000 degrés, soit, à un facteur deux près, la température de surface du soleil. Bref, même s’il n’est pas dû aux étoiles, le rayonnement fossile était à l’époque de son émission assez semblable à celui des étoiles. Or aujourd’hui il n’en est rien Du fait des effets de décalage vers le rouge, le rayonnement n’est plus aujourd’hui a 3000 degrés mais de seulement 2,7 kelvin (ou -270 degrés). En terme énergétique, cela représente une perte d’un facteur , soit un peu plus de 30 magnitudes

En conclusion, une réponse rigoureuse à la question « Pourquoi la nuit est-elle noire ? » est assez complexe. Il faut répondre quelque chose du genre « À cause du premier principe de la thermodynamique et de la Relativité Restreinte ». La question était donc loin d’être triviale...

Voir aussi :

 Pourquoi la nuit est-elle noire ?

 Comment l’expansion augmente-t-elle les distances sans dilater les objets ?

 L’expansion de l’univers - les équations de Friedmann

 Les distances dans un univers en expansion

 Un peu de Relativité Restreinte

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