Nous nous proposons ici de donner les équations dictant l’expansion de l’univers. CEs équations sont une application de la Relativité Générale à l’univers dans son ensemble et son connues sous le nom d’équations de Friedmann, du nom du scientifique russe qui les a écrites sous la forme que l’on connît aujourd’hui. La dérivation de ces équations est relativement difficile, mais il se trouve que l’on peut les retrouver en se basant sur un raisonnement purement newtonien (voir l’article [-376]). Nous nous contenterons ici de donner un peu plus de détails que dans l’article précité.

Dans l’article L’expansion de l’univers - un exemple Newtonien nous avons vu comment évoluait le rayon d’une boule de fluide homogène et sans pression sous l’effet de la gravité. En Relativité Générale, l’élément de base est la métrique (voir l’article Un peu de Relativité Générale). Un grand nombre d’obervation suggère que notre univers est, à grande échelle, homogène et isotrope. Il est de plus en expansion. On peut montrer --- et c’est d’ailleur assez intuitif --- que dans un tel cas, la métrique peut s’écrire

Par rapport à la métrique habituellement utilisée en Relativité Restreinte, on a simplement ajouté une quantité appelée facteur d’échelle. Le fait que l’espace soit en expansion se traduit par le fait que le facteur d’échelle varie au cours du temps. Dans le système de coordonnées dans lequel la métrique a la forme indiquée ci-dessus, les galaxies sont à peu près immobile. Cela signifie que si l’on fait abstraction du mouvement propre d’une galaxie (résultat de son interaction gravitationnelle avec son environnement), alors ses coordonnées , , sont constantes au cours du temps. La distance séparant deux galaxies de coordonnées et est

Du fait du facteur d’échelle, cette distance varie au cours du temps. La vitesse de récession apparente d’une galaxie est donnée par sa vitesse , ce que l’on peut réécrire

Ainsi, le taux auquel croît la distance entre deux objets est précisément le taux d’expansion de l’univers. Celui-ci s’exprime en fonction du facteur d’échelle par

Il nous faut maintenant déterminer la loi d’évolution de la « constante » de Hubble (qui est en fait une fonction du temps). Dans l’article L’expansion de l’univers - un exemple Newtonien, la quantité représentait la distance séparant deux points d’un fluide homogène en train de se dilater. Il en est de même pour le facteur d’échelle, ce qui suggère que ces deux quantités évoluent de façon assez similaire. On montre en fait qu’i obéisse à la même équation. Ainsi, la première équation de Friedmann s’écrit

Les deux seules différences par rapport au cas newtonien sont que

 le membre de droite fait intervenir la densité d’énergie et non la densité de masse, d’où le facteur supplémentaire en .

 La quantité ne représente plus l’énergie totale du système

 , mais la fameuse coubure de l’espace. Un espace à courbure nulle est un espace euclidien habituel. Un espace à courbure non nulle présente des différences par rapport au cas à courbure nulle. En particulier le théorème de Pythagore n’est plus valable, et la somme des angles d’un triangle est soit supérieure à 180° (courbure positive), soit inférieure à 180° (courbure négative). Une sphère représente un exemple d’espace à deux dimensions de courbure positive. Les données observationnelles indiquent que la courbure actuelle de l’univers est très faible. Nous omettrons donc dorénavant ce terme dans les équations.

L’équation ci-dessus avait été dérivée dans le cas d’un fluide sans pression, où l’on avait

Dans l’univers, la matière non relativiste est dans ce cas : même si elle n’a pas de pression non nulle, celle-ci est négligeable devant la densité d’énergie. On a en effet depuis longtemps

Cependant cette inégalité n’a pas toujours été vérifiée et ne l’est pas pour d’autres formes de matière. En particulier, pour des photons on a

Pour résoudre les équations de Friedmann, il nous faut donc connaître l’évolution de la densité d’énergie d’un fluide en fonction du temps et de sa pression. La relation qui nous manque est tirée du premier principe de la thermodynamique. Celui-ci stipule que la variation d’énergie interne d’un système est déterminée par le travail et la chaleur reçus par celui-ci selon

Si l’on considère une masse donnée dans l’univers celle-ci peut échqnger de la chaleur avec son voisinage, mais l’univers étant homogène, elle va recevoir autant de chaleur qu’elle ne va en céder à son environnement. On a donc . En est-il de même pour le travail ? La réponse est non. En effet un morceau d’univers de masse constante n’est pas de volume constant : celui-ci croît du fait de l’expansion. Or, en thermodynamique, le travail reçu par un gaz dont le volume varie est précisément

Cette relation est également vérifiée dans un univers en expansion. L’énergie interne peut être exprimée comme le produit de la densité d’énergie et du volume considéré, dont on déduit

ou bien

Dans un univers à trois dimensions, le taux de variation du volume est égal au triple du taux de variation des distances, soit . Ainsi on a

En introduisant un paramètre défini par

on en déduit

Pour , on retrouve la relation de la matière non relativiste. Cette relation est évidente : pour de la matière non relativiste, la densité d’énergie est quasiment égale à la densité d’énergie de masse (l’énergie cinétique est négligable devant l’énergie de masse), et sa variation résulte simplement de la dilution due à l’expansion. Pour de la radiation, on a , soit

Là encore, ce résultat est facile à comprendre : alors que pour une particule non relativiste, l’énergie est donnée par , pour un photon elle est déterminée par , étant la fréquence et une constante appelée constante de Planck. Or du fait de l’expansion, le décalage vers le rouge est précisément dû au fait que la fréquence varie au cours du temps. De même que pour les distance, la longueur d’onde d’un photon varie selon la relation

La fréquence étant l’inverse de la longueur d’onde, on a donc

c’est-à-dire

L’energie individuelle de chaque photon décroît donc au cours du temps. Si on ajoute l’effet de dilution dû à l’expansion, on retrouve bien .

Une dernière forme de matière intéressante est la constante cosmologique. Cette forme de matière, en général notée par un n’a pour l’heure jamais été détectée en laboratoire mais un certain nombre d’observations astrophysique indiquent qu’elle existe. Comme son nom l’indique, cette forme de matière a une densité constante, dont on déduit l’étrange équation d’état

Evolution du facteur d’échelle

Connaissant la dyamique de la desnité d’énergie, il est possible de déterminer celle du facteur d’échelle. Notons que quand on est en présence de plusieurs fluide dont les paramètres sont différents, il n’y a qu’un seul de ces fluide dont la densité d’énergie domine. En effet quel que soit le rapport des densité d’énergies de deux fluides, s’ils ont des paramètres différents la densité d’énergie de l’un décroît plus vite que celle de l’autre. Ainsi au bout d’un certain temps, la denstité d’énergie totale sera dominée par celle du fluide au plus bas alors qu’à des temps reculés c’est l’autre fluide qui dominait. Ainsi, si la densité d’énergie sous forme de radiation est négligeble aujourd’hui ce n’était pas le cas par le passé, et si il y a une constante cosmologique elle finira par avoir une contribution dominante à la densité d’énergie totale.

Dans l’hypothèse où la densité d’énergie est dominée par une ou plusieurs formes de matière ayant le même paramètre constant, on a

quand , et

quand . Dans ce dernier cas il est facile de voir que la paramètre de Hubble est constant au cours du temps : l’expansion s’effectue exponentiellement.

Une quantité intéressante à étudier est le taux d’accélération de l’expansion

On voit que

Tant que , l’expansion décélère au cours du temps. Ceci est en particulier le cas pour la mtière et la radiation et correspond à l’intuition selon laquelle la force gravitationnelle étant attractive, elle agit comme une force de rappel qui s’oppose à l’expansion et qui ralentit la vitesse de récession d’un objet donné. En revanche, dans le cas où , c’est l’inverse qui se produit : l’expansion s’accélère, comme si la gravité devenait répulsive. C’est en particulier le cas de la constante cosmologique. L’explication de ce paradoxe est donnée dans l’article Pourquoi une constante cosmologique agit-elle comme une force répulsive ?.

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Voir aussi :

 L’expansion de l’univers - un exemple Newtonien

 Pourquoi une constante cosmologique agit-elle comme une force répulsive ?

 Un peu de Relativité Générale

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