Nous nous proposons ici de calculer les différents types de distances qui peuvent être données à un objet lointain. Dans un espace qui n’est pas en expansion, il existe plusieurs moyens de calculer la distance d’un objet :
la distance radar : si envoyant un faisceau lumineux sur un objet on mesure le temps 
qu’il met à revenir, la distance se mesure par
la distance angulaire : si l’on, connaît la taille réelle 
d’un objet, le diamètre apparent 
sous lequel il apparaît permet de connaître sa distance selon la formule
la distance de luminosité : si l’on connaît la luminosité absolue d’un objet, il est possible, en mesurant sa luminosité apparente de déduire à quelle distance il est situé. En effet, soit un objet situé à une distance 
et dont la luminosité et 
. Le flux lumineux reçu de cet objet est par définition
Ainsi, la distance nous séparant de l’objet est tout simplement
De façon évidentes ces trois façons de mesurer les distances sont équivalentes dans un espace sans expansion. Il n’en est rien dans un espace en expansion.
Considérons donc un objet dont le redshift est 
. Quelle est la distance 
à laquelle est situé cet objet aujourd’hui ? Le fait que l’univers est en expansion nous autorise (voir l’article Un peu de Relativité Générale) à écrire cette distance
où 
est le facteur d’éechelle aujourd’hui. Si l’on connaît le contenu matériel de l’univers, on connaît l’évolution temporelle du facteur d’échelle. Supposons ici que l’univers est composé de matière ordinaire. On a donc (voir les articles L’expansion de l’univers - un exemple Newtonien et L’expansion de l’univers - les équations de Friedmann)
ce que l’on peut réécrire
et la constante de Hubble vaut aujourd’hui
Le temps de Hubble n’est pas égal à l’âge de l’univers mais à une fois et demi celui-ci. Si l’on prend une valeur typique de la constante de Hubble (65 kilomètres par seconde et par mégaparsec), on trouve un âge de 10 milliards d’années. On pense que l’univers est plus âgé que cela, beaucoup d’observations vont dans ce sens. Si la loi d’évolution du facteur d’échelle est différente de celle présentée ci-dessus, il est possible d’avoir un univers plus vieux. C’est en particulier ce qu’il se passe si l’on suppose qu’il existe une constante cosmologique.
On sait que l’élément de longueur quadridimensionnel pour un photon est nul (voir l’article Un peu de Relativité Restreinte). Ainsi la distance parcourue par un photon entre les instants 
et 
s’écrit
On a donc
désignant l’instant où l’objet situé au redshift a émis la lumière que nous recevons aujourd’hui. On trouve donc
Connaissant la relation 
donnée ci-dessus, on en déduit
Pour des redshifts petits, on retrouve
Si l’on se souvient que pour des vitesses faibles, la vitesse de recession est 
, on retrouve la loi de Hubble 
. Cette loi n’est plus valable à grand redshift. En effet, on a
Cela signifie qu’il existe une distante limite au delà de laquelle nous ne pouvons pas voir d’objets. Cela est évident du fait de la relation de Hubble : les objets les plus lointains sont trop loins pour que leur lumière ait pu nous parvenir. Ce qui est un peu surprenant, c’est la valeur de cette distance limite : intuitivement on pourrait penser que celle-ci est telle que la vitesse de recession est égale à la vitesse de la lumière, soit un rayon de Hubble, ou alors que cette distance maximale est égale à la distance maximale pouvant être parcourue par un photon pendant une durée égale à l’âge de l’univers, or ce n’est pas le cas, le bon résultat est deux rayons de Hubble, soit trois fois l’âge de lùunivers multiplié par la vitesse de la lumière. Cela vient du fait que la distance nous séparant de l’objet de redshift a considérablement varié entre les époques d’émission et de réception du signal. En effet, la distance 
qui nous séparait de l’objet situé aujourd’hui à une distance est
Pour des petits redshift, on retrouve le même résultat que pour :
Par contre pour des grands redshifts, on a
Cela signifie que les deux objets étaient alors très près l’un de l’autre. Notons que est très petite pour des objets proches et pour des objets lointains. Elle a son maximum pour un redshift de 1,25 et vaut alors
Les distances et ne repésentent pas la distance parcourue par les photons le long de leur trajet. Celle-ci vaut
Pour les bas redshifts, on retrouve le résultat attendu
Mais la distance tend vers
A un facteur 
près, ceci correspond à l’âge de l’univers. Ainsi, la distance maximale nous séparant des objets les plus lointains que nous voyons aujourd’hui est trois fois la distance parcourue par la lumière pour nous parvenir. Si l’univers à un âge de 15 milliard d’années, alors la distance qui nous sépare des objets les plus lointains est de près de 45 milliards d’années 
.
A priori, les distances , et 
ne sont pas des quantités mesurables : ce que l’on peut mesurer d’un objet sont sa taille apparente et sa luminosité. Calculons donc maintenant les distances angulaires et distances de luminosité.
Distance angulaire
Considérons deux faisceaux lumineux se propageant du même point mais dans des directions opposées. Il est évident que même malgré l’expansion, ces deux faisceaux vont toujours se propager dans des directions opposées. Considérons maintenant un trosième faisceau se propogeant depuis le même point dans une direction perpendiculaire aux deux autres. Il est encore clair que ce faisceau va rester perpendiculaire aux deux autres du fait de l’expansion. Si l’on procède de la même façon en considérant un faisceau se propageant à 45° de deux faisceaux perpendiculaires et ainsi de suite, on voit aisément que l’angle que font deux faisceaux lumineux reste constant au cours du temps. Soit donc un objet de taille 
situé initialement à une distance de nous. Si l’on considère les directions des photons émis vers nous de deux extrémités de l’objet en question, elles forment un angle
Comme nous l’avons vu, cet angle va être conservé par l’expansion, c’est donc l’angle sous lequel on va voir l’objet. La distance angulaire est donc de ce fait la distance qui séparait les objets lors de l’émission de la lumière :
Ainsi donc les objets les plus éloignés ne sont pas les plus petits. Il n’est donc pas nécessaire d’avoir un grossissement démesuré pour voir de tels objets. En particulier, le fond diffus cosmologique qui va être étudié par la mission Planck ne va pas nécessiter une résolution fantastique pour être observé : les détails intéressants sont à une échelle angulaire de quelques minutes d’arc 
, ce qui est considérablement moins fin que les résolutions que l’on sait atteindre avec des instruments observant dans le visible.
Distance de luminosité
Considérons maintenant un objet situé à un redshift donné. Le flux lumineux que nous recevons de cet objet est a priori donné par la distance qui nous sépare de cet objet aujourd’hui, soit
ce qui pourrait laisser penser que la distance de luminosité est simple 
. Il n’en est malheureusement rien, et ce pour deux raisons :
d’une part, l’énergie individuelle de chaque photon décroît d’un facteur 
du fait de l’expansion, le flux reçu l’est donc tout autant.
d’autre part, il faut tenir compte d’un effet de Relativité Restreinte, la dilatation des durées : les événements que nous voyons sur une galaxie lointaine semblent se dérouler plus lentement du fait de la vitesse de celle-ci. Le rapport des durées entre les événement tels qu’ils se produisent dans la galaxie et ce que nous en voyons. Supposons par exemple que l’on émette deux fronts d’onde aux instants et 
. Ces fronts d’onde seront initialement séparés de la distance 
. A la réception de ces front d’onde, ils seront séparés de la distance 
du fait de l’expansion. Le temps qui séparera la réception des deux signaux est donc de 
: l’effet de dilation des durées diminue le flux de photons d’un facteur . Le flux total reçu est donc
La distance de luminosité est donc
Contrairement aux autres distances précédemment calculées, cette distance tend vers l’infini à grand redshift. Ceci n’est pas surprenant : les objets visibles les plus lointains sont infiniment redshiftés, l’énergie des photons reçus est nulle, indépendamment de leur nombre (qui est lui aussi réduit). C’est cet effet qui représente la seule bonne réponse au paradoxe d’Olbers (voir l’article Pourquoi la nuit est-elle noire ?).
Ce comportement rend très difficile l’observation d’objets à grand redshift : les effets de dilatation des durées et de décalage vers le rouge atténuent considérablement la luminosité de tels objets. Par exemple, même si la distance physique qui sépare aujourd’hui des objets de redshift 4 et 6 n’est pas gigantesque (l’objet de redshift 6 est 12,5% plus loin que celui de redshift 4), le rapport de leur luminosité est plus grand que 4. Si on considère un objet de redshift 4 et un objet de redshift 10, le rapport des distances est de 1,26, celui des luminosité d’environ 30 : il est extrêmement difficile d’observer des objets de redshift élevés, non pas parce qu’ils sont petits mais parce qu’ils sont trop peu lumineux.
Voir aussi :
L’expansion de l’univers - un exemple Newtonien
L’expansion de l’univers - les équations de Friedmann
Un peu de Relativité Restreinte
Pourquoi la nuit est-elle noire ?
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