Nous nous proposons ici de retrouver à l’aide de quelques arguments simples que la force de gravitation est en .

La fameuse expérience de la pomme de Newton consiste essentiellement en la remarque suivante : un objet quelconque (par exemple une pomme) proche de la surface de la Terre tombe vers celle-ci en subissant une accélération d’environ , alors que la Lune, située à environ 400 000 kilomètres de la Terre en fait le tour en environ 28 jours.

L’idée est de supposer que l’accélération subie par la pomme et la force qui maintient la Lune en orbite sont identiques (théorie de la gravitation universelle, à ceci près que la Lune est située beaucoup plus loin de la Terre. Si l’on suppose (ce qui est raisonnable) que le champ de gravitation de la Terre décroît avec la distance, arriver à mesurer l’accélération de la Lune permet de connaître comment le champ gravitationnel terrestre decroît avec la distance.

On peut grossièrement estimer l’accélération subie par la Lune comme suit : si la Lune ne tombe pas sur la Terre, c’est juste qu’elle a une vitesse tangentielle suffisamment importante qui la fait « rater » la Terre dans sa chûte. Si on arrêtait la Lune dans sa trajectoire, elle se mettrait alors à tomber vers la Terre. Combien de temps cela prendrait-il ? À la louche et en supposant qu’elle subisse une accélération constante (ce qui n’est pas vrai car l’accélération serait de plus en plus forte à mesure que la Lune se rapproche de la Terre), cela prendrait environ un quart de période, soit 7 jours. L’accélération correspondante est donc donnée par la formule

,

soit

.

Cela correspond à une accélération près de 4500 fois plus faible que celle subie par la pomme. Or la distance qui sépare la pomme du centre de la Terre est de 6300 km, contre 400 000 km pour la Lune. Si le champ gravitationnel terrestre décroît bien comme une puissance de la distance, alors l’exposant en question est donné par

.

L’application numérique donne alors un chiffre de l’ordre de 2.

Une autre façon moins directe de retrouver ce résultat est d’utiliser la troisième loi de Kepler. Elle énonce le fait que dans le système solaire le rapport entre le carré de la période de révolution des différentes planètes autour du soleil et le cube de leur demi grand axe est une constante :

.

Cette loi est également observée pour les satellites de Jupiter et de Saturne, mais avec des constantes différentes à chaque fois. Comment relier ce résultat au précédent ? En remarquant que si l’on écrit la loi de Newton en supposant que la force de gravitation est en , on a

.

En multipliant les longueurs par et les durées par (c’est-à-dire que l’on pose et ), on obtient

.

La troisième loi de Kepler peut se reformuler en disant que en prenant , la trajectoires des planètes restent identique au redimensionnement des unités près, c’est-à-dire que l’on ait

.

Cela indique que , soit

.

D’un point de vue plus fondamental, on sait que la divergence d’un champ radial en est nulle dans un espace à trois dimensions. En d’autres termes, le flux sortant d’un tel champ à travers toute surface contenant l’objet dont émane le champ est constant et il obéit au théorème de Gauss. De plus, l’équation de Poisson prend la forme très simple en un lieu vide de matière, ce qui d’une certaine façon est le cas le plus « naturel »

Ces derniers arguments sont purement heuristiques. La « preuve » que la force de gravitation doivent être en résulte des équations de la Relativité Générale dont l’équation de Poisson représente la limite en champ faible. Mais d’une certaine façon la Relativité Générale est construite de façon à reproduire la gravitation universelle en champ faible dont on sait observationnellement qu’elle obéit à la loi de Poisson... Bref, il n’y a pas de raison fondamentale à avoir une force en si ce n’est que cela représente comme dit plus haut une situation plutôt naturelle. Notons aussi que les orbites de planètes sont stables dans ce cas là, ce qui est favorable à l’apparition de la vie. Ce principe anthropique (« Si les choses étient différentes, nous ne serions pas là pour en parler ») est comme souvent ce que l’on invoque quand on est à court d’arguments théoriques...

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