Bien que ce ne soit pas l’objet principal de ce site, il ne nous paraît pas inutile de donner ici quelques rudiments de Relativité Restreinte. La Relativité Restreinte (ou plus simplement Relativité) a été énoncé par Albert Einstein en 1905 pour résoudre un conflit entre la mécanique classique et l’électromagnétisme.
L’électromagnétisme est en conflit avec le principe de relativité galiléenne car il prédit que la vitesse de la lumière est constante quelle que soit la vitesse à laquelle l’on se déplace par rapport à la source qu’il émet. L’explication alors proposée pour résoudre ce paradoxe venait de l’idée que de même que le son a besoin d’un support pour se propager (le son est une one de compression de l’air, il ne se propage pas dans le vide), il en est de même pour la lumière. On avait donc fait l’hypothèse qu’une forme de matière inconnue, l’éther existait partout dans l’univers et que les équations de Maxwell telles qu’elles étaient écrites n’étaient valables que dans le référentiel localement au repos par rapport à l’éther. Du fait de son mouvement autour du soleil, la vitesse relative de la Terre par rapport à l’éther devait varier au cours du temps et il devait être possible d’observer un vent d’éther par l’intermédiaire d’expériences d’électromagnétisme. Une telle expérience a pour la première fois été réalisée par Albert Michelson et Edward Morley en 1887 pour devenir ce que l’histoire des sciences a retenu comme étant « l’expérience la plus célèbre ayant échoué à donner le résultat attendu » : aucun vent d’éther n’a été détecté, pas plus que dans les nombreuses expériences de ce type qui suivirent 
.
En bref, l’expérience de Michelson et Morley indique que si la quantité
est nulle dans un référentiel inertiel, alors elle est nulle dans tout autre référentiel inertiel. En 1905, Einstein propose que cette quantité, quelle que soit sa valeur, reste la même par changement de référentiel inertiel. Il montre que pour cela, il suffit de changer la loi de changement de référentiel inertiel galiléen en
Cette loi de transformation est connue sous le nom de transformation spéciale de Lorentz. Dans la limite 
, on retrouve bien la loi de transformation de Galilée, mais pour des vitesses élevées ce n’est plus le cas et la formule permet d’expliquer le résultat de l’expérience de Michelson et Morley : la vitesse de la lumière est toujours la même quelle que soit le déplacement de l’observateur par rapport à la source lumineuse.
Les conséquences de la Relativité Restreinte
Les deux principales conséquences de la transformation de Lorentz sont que
Le temps n’est plus absolu : la relation 
(où tout autre relation introduisant une constante arbitraire entre les temps mesurés dans les deux référentiels) n’est plus vérifiée, cela signifie que le temps mesuré par un observateur en mouvement n’est plus nécessairement identique à celui d’un autre observateur immobile. C’est le phénomène de dilatation des durées.
L’espace également n’est plus absolu : la longueur d ;un objet dépend de la vitesse de l’objet par rapport à celui qui la mesure. C’est le phénomène de contraction des longueurs (ou contraction de Lorentz).
Essayons de mieux comprendre ces deux phénomènes intimement liés. Remarquons tout d’abord que si l’on considère un objet se déplaçant à une vitesse inférieure à celle de la lumière, la quantité 
est positive. On peut donc la noter 
, où 
à la dimension d’un temps. À quoi correspond ce temps ? Dans un référentiel qui suit l’objet dans son mouvement à un instant donné (c’est-à-dire un référentiel inertiel dont la vitesse coïncide avec celle de l’objet à un instant donné), cette quantité correspond exactement à la quantité 
dans ce référentiel. Par suite, correspond exactement au temps mesuré par une horloge se déplaçant avec l’objet. On appelle donc cette quantité temps propre.
Considérons maintenant un objet se déplaçant à vitesse constante
entre les points 
et 
. Du point de vue d’un observateur qui reste en , la trajet va durer
Par contre, du point de vue d’un observateur qui va se déplacer avec l’objet, le trajet va durer
Ainsi le temps vécu par l’observateur en mouvement est plus court que celui mesuré par un observateur immobile. Le temps mesuré par un observateur immobile est donc plus long que celui ressenti par l’objet, d’où le nom de dilatation des durées. Cet effet est particulièrement important si l’objet se déplace à une vitesse proche de la lumière. Ainsi, si une particule instable a une durée de vie très brève, en l’accélérant à une vitesse proche de celle de la lumière il est possible d’« allonger » sa durée de vie (ou, plus précisément de faire en sorte que la durée de vie que l’on mesure en restant immobile soit très supérieure à celle ressentie par la particule en mouvement). Un tel effet s’observe de façon plus que routinière en physique des particules, mais désormais aussi en cosmologie : quand on est témoin de certains événements astrophysiques dont la durée est brève et connue, en particulier l’explosion d’une supernova, on observe que ceux-ci semblent se dérouler plus lentement quand ils se produisent dans des galaxies lointaines dont la vitesse de récession est importante.
De la même manière, on peut regarder à quelle distance apparaît le point situé en pour un observateur situé en 
à 
mais se déplaçant à la vitesse . Du point de vue de l’observateur qui se déplace, le point situé en à l’instant est tel que
son abscisse étant alors
Ainsi le point situé à apparaît plus proche pour l’observateur qui se déplace que pour l’observateur au repos. De la même manière, une règle de longueur au repos 
donnée apparaît plus petite quand on la déplace ou si l’on se déplace par rapport à elle. C’est le phénomène de contraction des longueurs, ou de contraction de Lorentz. Cet effet est indissociable du précédent. En effet, si le temps vécu par l’observateur en mouvement pour aller de à est plus bref que celui mesuré par l’observateur au repos, c’est précisément parce que du fait du phénomène de contraction des longueurs, le point lui paraît plus proche qu’à l’observateur au repos.
Une autre conséquence de la transformation de Lorentz est que la simultanéité de deux événement n’est plus conservée : si par exemple on allume deux lampes situées en et à l’instant 
(mesuré par un observateur au repos par rapport aux lampes), un observateur se déplaçant à la vitesse les verra s’allumer aux instants pour la lampe en et
pour la lampe en . Ainsi, selon le signe de la vitesse, l’observateur en mouvement verra l’une ou l’autre des lampes s’allumer avant l’autre, alors que l’observateur immobile les verra s’allumer en même temps. Par contre, si la simultanéité n’est pas conservé, la causalité l’est toujours : deux événement sont dits en contact causal s’il est possible à un signal se déplaçant à une vitesse inférieure à celle de la lumière se rejoindre un point 
l’instant 
en partant du point 
à l’instant
. Dans ce cas, quel que soit le référentiel considéré, l’événement 1 se produira toujours avant l’événement 2.
Les équations du mouvement en Relativité Restreinte
La loi de changement de référentiel inertiel étant connue, il faut maintenant écrire le principe fondamental de la dynamique en Relativité Restreinte. La principale différence entre la transformation de Galilée et la transformation spéciale de Lorentz vient du rôle relativement symétrique joué par la coordonnée de temps et celles d’espace. La mécanique relativiste repose sur l’idée que les objets fondamentaux ne sont pas des vecteurs à trois composantes, mais des quadrivecteurs ayant trois composantes d’espace et une composante de temps. Ainsi, le vecteur vitesse habituel est remplacé par le quadrivecteur que l’on note habituellement 
, indice 
variant sur les quatre indices x, y, z, t :
avec 
. Le la même façon que l’on peut exhiber une norme euclidienne à un vecteur tridimensionnelle, un quadrivecteur possède une norme qui vaut
Il est facile de voir que pour la quadrivitesse définie ci-dessus, sa norme vaut toujours 
.
De plus, par changement de référentiel, les composantes d’un quadri-vecteur se transforment exactement comme les coordonnées lors d’une transformation de Lorentz. Plus généralement, si on introduit la matrice
La norme d’un quadrivecteur se calcule par la formule
où l’on a sommé sur les indices et
dans le membre de droite. Cette norme peut être positive, négative ou nulle, on parle respectivement de vecteur de genre temps, de genre lumière ou de genre espace. Un objet se déplaçant à une vitesse inférieure à celle de la lumière a un vecteur vitesse de genre temps. Si on considère la trajectoire d’un rayon lumineux, le vecteur tangent à sa trajectoire est toujours du genre lumière.
On peut de même définir la quadri-impulsion d’un objet par la même relation qu’en mécanique non relativiste :
La composante temporelle de la quadri-impulsion s’écrit
On reconnaît, à une constante près, l’énergie cinétique de l’objet.
On peut également définir une quantité 
égale à la norme de la quadri-impulsion par la vitesse de la lumière. C’est la célébrissime formule
La norme de la quadri-impulsion est constante et est donc une quantité intrinsèque de l’objet considéré. L’énergie définie ci-dessus est appelée pour des raisons évidentes énergie de masse. Cela signifie que du fait de sa masse, l’objet possède une énergie et qu’il lui est possible de libérer en « perdant » de la masse. Ainsi, une particule de masse non nulle peut libérer une partie de son énergie en se désintégrant en d’autres particules dont la somme des masses est inférieure à la masse initiale : c’est ce qu’il se passe dans l’ensemble des phénomènes radioactifs. Quand la particule est au repos, son énergie de masse s’identie à la composante 
de la quadri-impulsion, multipliée par la vitesse de la lumière. Dans le cas général,
la composante temporelle de la quadri-impulsion représente à un facteur html>c^2