La gravitation universelle issue de la mécanique classique est incompatible avec la Relativité Restreinte car elle repose sur le principe d’action à distance autorisé par la mécanique classique et non celui de la causalité sur lequel se base la Relativité Restreinte. L’objet de la Relativité Générale découverte par Albert Einstein en 1915 était précisément de proposer une théorie relativiste de la gravitation.

Autant l’appareillage mathématique de la Relativité Restreinte est relativement simples, autant celui de la Relativité Générale est complexe. L’objet de cet article est de présenter les idées principales qui la sous-tendent et qui, elles, sont relativement simples. Nous donnerons à la fin de cet article les équations de la Relativité Générale, mais sans démonstration.

L’idée de la Relativité Générale repose sur trois grands principes : le principe de relativité, le principe d’équivalence et le principe de Mach.

 Le principe de relativité générale. Le premier principe de relativité énoncé par Galilée faisait jouer un rôle privilégié à une certaine classe de référentiels, les référentiels inertiels. Il en était de même pour la Relativité Restreinte énoncée par Einstein en 1905. Un des souhaits d’Einstein était d’étendre le principe de relativité à tous les référentiels, inertiels ou pas, d’où le nom de Relativité Générale. En d’autre termes, il voulait éviter d’avoir à considérer les forces d’inertie comme un cas particulier des référentiels non inertiels.

 Le principe d’équivalence. La gravitation universelle s’exerce sous la forme d’une force attractive variant comme l’inverse du carré de la distance. À ce titre, elle comporte des similarité avec la force électrostatique. Cependant il existe une grande différence entre les deux forces. La seconde fait intervenir la charge électrique, qui est une quantité utilisée uniquement en électromagnétisme, alors que la première fait intervenir la masse des objets considérés, qui est également utilisée dans le principe fondamental de la dynamique, de sorte que l’accélération subie par un corps du fait de la gravité est exactement égale au champ gravitationnel : tous les corps tombent de la même façon, indépendamment de leur masse ou de leur composition chimique (d’où le nom de gravitation universelle). Cette coïncidence entre la masse inerte (qui intervient dans la quantité de mouvement, donc l’inertie) et la masse grave (qui intervient dans le calcul de la force gravitationnelle) est testée et vérifiée jusqu’à une très grande précision. La principale conséquence de cette égalité est que les forces d’inertie (qui résultent d’un référentiel non inertiel) sont en pratique identiques à un champ gravitationnel

 Le principe de Mach. En mécanique classique, la notion de référentiel inertiel fait implicitement référence à celle d’un espace absolu : on peut décréter qu’il existe un espace absolu et que les référentiels inertiels sont ceux qui sont en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à celui-ci. Est-il possible de savoir quel est cet espace absolu ? Pour Newton, la réponse est évidente, c’est celui dans lequel la quantité de mouvement totale et le moment cinétique total de la matière s’annule : c’est celui qui est immobile par rapport aux étoiles que nous voyons la nuit. Le philosophe et physicien Ernst Mach est un des premiers à remarquer qu’une telle coïncidence n’a rien de naturel : il est étonnant qu’une propriété purement locale dépende de la répartition des masses dans tous l’univers, et ce indépendamment des distances. La force de gravitation entre aussi dans ce cadre là, mais au moins décroît-elle avec la distance. Ainsi une galaxie très massive mais très lointaine ne va pas influer sur le champ gravitationnel s’exerçant sur un objet donné. Par contre, elle va participer à la définition de l’espace absolu et donc de l’inertie. Une autre conséquence de cette remarque est qu’en l’absence totale de matière, la notion d’inertie n’existe peut-être pas ! Le principe formulé par Mach était plus une critique de la gravitation universelle et de l’espace absolu qu’une proposition pour une nouvelle théorie de la gravitation. Néanmoins elle a inspiré Einstein et est partiellement incorporée dans la Relativité Générale.

Le principe de relativité générale

En l’absence de forces, les coordonnées d’un objet dans un référentiel inertiel obéissent à l’équation du mouvement

En terme de composantes, cela se traduit, en coordonnées cartésiennes, par

Il n’en est pas de même en coordonnées non cartésiennes. Par exemple, en coordonnées cylindriques, on a

Il ne s’agit donc pas de la même formulation mathématique du même phénomène (mouvement d’une particule libre). Pour avoir une relativité générale, il faut dans un premier temps trouver une formulation unifiée aux référentiels inertiels et non inertiels. Ceci peut se faire en utilisant la procédure suivante :

• Pour une système de coordonées arbitraire ne dépendant pas du temps, on peut d’abord écrire l’élément de longueur infinitésimal, c’est-à-dire les distance qui sépare le point de coordonnées du point de coordonnées . En coordonnées cartésiennes, cet élément de longueur s’écrit

en coordonnées cylindriques, il s’écrit

et ainsi de suite.

• De là on peut définir une métrique , c’est-à-dire une matrice telle que

où l’on a utilisé la convention d’Einstein, c’est-à-dire la convention selon laquelle deux indices identiques portant sur les coordonnées et présents du même côté d’une équation sont sommés sur l’ensemble de coordonnées. En coordonnées cartésiennes, cette matrice est la matrice identité, en coordonnées cylindrique elle est diagonale, dans le cas général elle est symétrique définie positive.

• À partir de la métrique, il est possible de construire les symboles de Christoffel définis par

où la matrice est la matrice inverse de .

En coordonées cartésiennes toutes ces quantités sont nulles, mais en coordonnées cylindriques ce n’est pas le cas. On a

• On se rend alors compte - et c’est en fait un théorème mathématique que l’on peut montrer et c’est en fait un théorème mathématique que l’on peut montrer - que l’équation correspondant à un mouvement rectiligne et uniforme dans tout système de coordonnées s’écrit en fait

En mécanique relativiste, cette équation se transforme en remplaçant le temps par le temps propre et en introduisant la quadrivitesse :

Ce résultat est en fait très général : il est valable dans un espace euclidien (dont les coordonnées cartésiennes et cylindriques sont deux systèmes de coordonnées parmi d’autres), mais aussi dans n’importe quel espace non euclidien, comme une sphère. Ceci est donc particulièrement utile dans l’optique où le principe d’équivalence suggère que la gravité est une propriété géométrique de l’espace qui de ce fait va être courbé par la matière et éventuellement localement non euclidien.

Les référentiels non inertiels

Pour l’instant, les équations du mouvement d’une particule libre ont été écrites dans le cas d’un référentiel inertiel dans un système de coordonnées quelconque. La généralisation à un référentiel non inertiel est relativement simple : il suffit de considérer une métrique à quatre dimensions en rajoutant une dimension de temps, exactement comme on le fait en Relativité Restreinte avec la matrice . Supposons par exemple que l’on considère un système de coordonnées cartésiennes et une situation où

où le vecteur ne dépend que du temps. Il représente la vitesse à laquelle se déplace le système de coordonnées par rapport à un référentiel inertiel. À l’ordre le plus bas, le seul coefficient de Christoffel non nul est alors

et l’équation d’une particule libre s’écrit alors dans la limite non relativiste

C’est exactement l’équation du mouvement d’une particule libre dans un référentiel non inertiel dont l’accélération est

De même, si l’on prend cette fois un système de coordonnées cartésiennes et

alors l’équation d’une particule libre s’écrit

On reconnaît là la force de Coriolis.

En bref, cette formulation permet d’écrire l’équation du mouvement de toute particule libre quel que soit le référentiel considéré. Ceci n’est pour l’instant pas très intéressant : on cherche les équations décrivant le champ gravitationnel lui-même et non celles décrivant la trajectoire des particules dans ce champ. Néanmoins ce premier résultat montre qu’il est possible d’écrire des équations valables dans tout type de système de coordonnéees.

Le principe d’équivalence

Le principe d’équivalence stipule que tout champ gravitationnel peut être vu comme une force d’inertie. Comme celles-ci peuvent être absorbées dans la métrique, il doit en être de même pour le champ gravitationnel. Considérons par exemple une particule dans un champ gravitationnel . Son équation du mouvement s’écrit, en coordonnées cartésiennes,

Dans le cas d’un champ gravitationnel statique, il est clair que si l’on prend

l’équation du mouvement s’écrit

ce qui est précisément ce que l’on voulait montrer. Dans ce cas précis il est clair que le champ gravitationnel peut être absorbé dans la définition de la métrique. Le principe d’équivalence suggère que c’est en fait toujours le cas.

La Relativité Générale revient à trouver les équations qui déterminent la métrique et par suite le champ gravitationnel.

Les équations d’Einstein

En gravitation universelle, il existe une équation unique qui détermine le potentiel gravitationnel : c’est l’équation de Poisson. On a donc une certaine relation fonctionnelle entre d’une part ce qui détermine la gravité (le potentiel gravitationnel) et la répartition de matière. Les équations d’Einstein représentent l’analogue de l’équation de Poisson en Relativité Générale. Elles stipulent donc que

c’est-à-dire qu’il y a une relation entre la métrique et la répartition de matière. Cette relation est malheureusement très compliquée. Nous la donnons ici sans démonstration :

• À partir des symboles de Christoffel on construit une quantité à quatre indices appelée tenseur de Riemann, dont la formule est donnée par

• En effectuant la somme des composantes du tenseur de Riemann pour , on fabrique une matrice appelée tenseur de Ricci

• La trace de cette matrice (en fait son produit par l’inverse de la métrique) est appelée courbure scalaire

• La répartition et le flux de matière en un point donné est entièrement caractérisée par une matrice appelée tenseur énergie impulsion et notée . La composante de cette matrice représente la densité d’énergie, les composantes spatiales représentent la pression, les composantes représentent le flux d’énergie le long de la direction , et les composantes représentent le flux d’impulsion selon la direction parallèlement à la direction .

• Les équations d’Einstein stipulent qu’on a la relation

Cette relation est extrêmement compliquée. Contrairement à l’équation de Poisson, elle n’est pas linéaire par rapport à la métrique. Néanmoins dans la limite à champ faible (c’est-à-dire où la métrique est peu différente d’une métrique de référentiel inertiel), il est possible de montrer qu’à l’ordre dominant en , le terme dominant est repésenté par la composante de ces équations et se réduit à l’équation de Poisson.

Comparativement à la gravitation universelle, la Relativité Générale est extrêmement riche : ses équations ne portent pas sur une seule quantié, mais sur les composantes d’une matrice symétrique , soit 10 composantes en tout. Il existe donc un grand nombre d’effets qui n’ont pas d’équivalent en gravitation universelle. Cela fournit une très large batterie de tests de cette théorie, qu’elle a pour l’instant brillamment passé. Une des conséquences les plus spectaculaire de la Relativité Générale est d’expliquer très naturellement l’expansion de l’univers.

Voir aussi :

 Le principe de relativité galiléenne et la mécanique classique

 La gravitation universelle selon Newton

 Un peu de Relativité Restreinte

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